一阶线性方程与特征线法

#特征线法 #一阶线性方程

问题

一阶线性方程为

ut+bu=f(x,t),(x,t)Rn×R+.

这里 u=u(x,t)b 为常矢量.

一阶线性齐次方程的特征线法

f(x,t)0 时,方程称为一阶线性齐次方程.

z(s):=u(x+sb,t+s)

z(s)=u(x+sb,t+s)b+ut(x+sb,t+s)=0.

这说明对任意的 (x0,t0)Rn×R+,直线 (x0,t)+s(b,1) (sR) 上,u 的值不变.称直线

Γ:=(x0+t)+s(b,1),sR

为一阶线性齐次方程的一条特征线.

对一阶线性齐次方程,平面被特征线所覆盖,从而可以解出初值方程的解

初值问题

考虑方程

{ut+bu=0in Rn×(0,+),u=gon Rn×{t=0}.

其中 g=g(x)C1 的.则在过 (x0,0) 的特征线 Γx0 上有

u(x,t)|Γx0=u(x0,0)|Γx0=g(x0).

从而,方程的解为

u(x,t)=g(xtb),xRn,t0.

一阶线性非齐次方程的初值问题

对一阶线性非齐次方程的初值问题

{ut+bu=fin Rn×(0,+),u=gon Rn×{t=0}.

也可以借助类似的特征线法进行推导,记

z(s):=u(x+sb,t+s)

依同样的方法可以得出

z(s)=f(x+sb,t+s).

从而

u(x,t)g(xtb)=z(0)z(t)=t0f(x+sb,t+s)ds=0tf(x+(st)b,s)ds

方程的解为

u(x,t)=g(xtb)+0tf(x+(st)b,s)ds(xRn,t0).